Formal lässt sich die Stetigkeit mit Grenzwerten definieren:
Eine Funktion f ist an einer Stelle x0 ihres Definitionsbereichs stetig, wenn
gilt.
Eine Funktion heißt stetig, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist.
Stetige Funktionen können Polstellen haben, d.h. Stellen, in deren Umgebung ihr Wert (betragsmäßig) über alle Grenzen wächst.
Die Tangens-Funktion ist überall, auf ihrem ganzen Definitionsbereich, stetig, da die Polstellen selbst nicht im Definitionsbereich liegen.
Einfach, aber wahr: Eine Funktion kann nur an einer Stelle unstetig sein, an der sie überhaupt definiert ist.
Die links gezeigte Signum-Funktion hat im Nullpunkt einfach einen Sprung .
Eine raffiniertere Unstetigkeit weist die rechts gezeigte Funktion
| f (x) | =  |
Die handwedelnde Definition “Malen ohne Abzusetzen” versagt in diesem Fall bei der Frage stetig oder nicht stetig. Um zu entscheiden, ob die Funktion im Nullpunkt stetig ist, muss schon die mathematisch präzise Definition her (und ein darauf aufbauender ordentlicher Beweis).
Auch in diesem Sinne ist die Unstetigkeit raffinierter.
Stetige Funktionen hüpfen nicht, noch schwanken sie stark.