Wurzel als Potenz schreiben; Logarithmus einer Potenz ist gleich …
Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen, also kann ich die Summe von Logarithmen zur gleichen Basis schreiben als …
Erst N ausklammern.
Betrachten wir zum Abschluss noch eine Aufgabe aus der Praxis – wie real auch immer unbeschränktes Wachstum sein mag. Zumindest ist es keine reine Rechenaufgabe.
Wenn eine Population jedes Jahr um 3 % wächst, nach wie vielen Jahren hat sie sich verdoppelt?
Überlegen Sie sich eine Formel, die die Entwicklung einer Anfangspopulation nach 1, 2, allgemein t Jahren beschreibt. Die Bedingung, das sich die Population verdoppelt haben soll, liefert dann eine Gleichung zur Bestimmung des Jahres.
Wir bezeichnen die Population im Jahr t mit N(t), speziell ist N(0) die Anfangspopulation.
Population nach einem Jahr: N(1) = 1,03 N(0)
Population nach zwei Jahren: N(2) = 1,03 N(1) = (1,03)2 N(0)
Population nach t Jahren: N(t) = (1,03)t N(0)
Wir müssen ein Jahr d so bestimmen, dass
2 N(0) = N(d) = (1,03)d N(0)
gilt.
Daraus folgt für das gesuchte Jahr d die Bestimmungsgleichung 2 = (1,03)d also
wobei der Wert mit dem Taschenrechner ermittelt wurde.
Die Population verdoppelt sich also in 23,5 Jahren.
Wir nehmen verwundert zur Kenntnis: Logarithmen zu krummen Basen wie 1,03 treten ganz natürlich in Anwendungen auf.