Trigonometrie: Berechnungen am allgemeinen Dreieck

Das ist eine reine Festlegung, eine Konvention, an die Sie sich auch halten sollte, weil es die Kommunikation vereinfacht. Andererseits: Namen sind nur Schall und Rauch – es darf nichts davon abhängen, dass ich eine Seite c und nicht a genannt habe, dass ich den a gegenüberliegenden Winkel mit FORMEL

bezeichnet habe ...

Anders als in einem rechtwinkligen Dreieck ist kein Winkel und damit auch kein Eckpunkt und keine Seite vor einer anderen ausgezeichnet. Insbesondere gibt es weder Hypotenusen noch Katheten.

3 merkenswerte Sätze für 3-Ecke

Für rechtwinklige Dreiecke kennen wir den Satz von Pythagoras und seine Freunde, den Höhensatz und den Kathetensatz. zuständig. Die Welt der allgemeinen, schiefwinkligen Dreiecke dominieren die folgenden drei merkenswerten Sätze. Alles andere schlägt man bei Bedarf nach.

Kosinussatz für rechtwinklige Dreiecke

Allgemeine, schiefwinklige Dreiecke dürfen natürlich insbesondere auch rechtwinklig sein, sie müssen halt nur nicht.

Was wird in diesem Fall aus dem Kosinussatz?

Im rechtwinkligen Dreieck gibt es eine Hypotenuse, die wir wie üblich mit c bezeichnen.

Der ihr gegenüberliegende Winkel ist ein rechter, sein Kosinus demzufolge gleich Null. Damit reduziert sich der Kosinussatz zu

Guter, alter Pythagoras.

Der Kosinussatz ist der auf beliebige Dreiecke verallgemeinerte Satz von Pythagoras .

Ein Beispiel mit Tücken

Von einem Dreieck sind die Seiten a = 6cm, c = 12 cm und der Winkel FORMEL = 23° bekannt. Gesucht ist der Winkel FORMEL .

Lösung

Der Sinussatz

liefert

Wir kennen des Sinus des Winkels, also können wir unter Einsatz des Taschenrechners den Winkel berechnen

Wo ist die Tücke?

Wir haben eine Lösung übersehen.

Wie konnte das passieren? Schauen wir uns die Sache in Ruhe an:

Für Winkel in einem beliebigen Dreieck kommen Werte zwischen 0° und 180° in Frage.
Betrachten wir den Verlauf der Sinusfunktion, so sehen wir, dass es – mit einer offensichtlichen Ausnahme – in diesem Bereich immer zwei Winkel gibt, die einen vorgegebenem Wert des Sinus liefern. Die beiden Winkel ergänzen sich jeweils zu 180°.
Die Funktion Arkussinus, und damit natürlich auch der Taschenrechner, liefert aber immer nur einen Winkel, nämlich denjenigen, der kleiner als 90 ° ist.

Was lehrt uns das?

Speziell können wir die gestellte Aufgabe vollständig lösen: Der Winkel ist 57,84° oder 122,16°.
Beides sind wirklich Lösungen der Dreiecksaufgabe, da auch für den größeren der beiden Winkel noch etwas für den dritten Winkel übrig bleibt.
Allgemein sehen wir, dass bei Arkussinus – und den Umkehrfunktionen der anderen trigonometrischen Funktionen – Vorsicht bzw. Nachdenken angesagt ist. Nicht immer liefert die Funktion alle Werte oder überhaupt den Wert, den man braucht.