Um zu sehen, ob Sie die Regeln auch anwenden können, wenn das Ergebnis nicht schon zu ahnen ist, betrachten wir – nur zum Üben – ein weiteres
Wir kennen die kurze Tabelle wichtiger Ableitungen und die Ableitungsregeln.
Wir suchen die Ableitung der Funktion xx und gehen ganz langsam Schritt für
Schritt voran.
Wie lässt sich die Funktion auf tabellierte Funktionen zurückführen? Die allgemeine Potenz ist über die Exponentialfunktion definiert
definiert. Also
Teilerfolg.
Unsere Funktion ist aus Bausteinen (erste Potenz, Exponentialfunktion,
Logarithmus), zusammengesetzt, deren Ableitung wir bereits kennen.
Wie genau sieht diese Zusammensetzung aus? Sehen Sie die Verkettung?
und
können wir xx als Verkettung: erst f, dann g, schreiben
Damit ist die Berechnung der Ableitung ein Fall für die Kettenregel.
Was liefert diese Ableitungsregel? Die Ableitung der Exponentialfunktion ist wieder die Exponentialfunktion
Fast fertig.
Im zweiten Faktor steht aber noch die Ableitung eines Produktes.
Wie geht es weiter? Mit der Produktregel?
In dem Computeralgebrasystem Maxima können wir Ableitungen mit dem Befehl (der Maximafunktion) diff berechnen.
diff(xx, x) liefert auf “Knopfdruck” das Ergebnis xx (log x + 1).
Die kleine Tücke:
log steht nicht für den Logarithmus zur Basis 10, sondern für den natürlichen
Logarithmus zur Basis e, den (nicht nur) wir mit ln bezeichnet haben.
Mit Maxima lassen sich natürlich auch höhere Ableitungen berechnen:
Berechnen wir die zweite Ableitung von xx direkt mit diff(xx, x, 2):
Merke: Wenn man nun verstanden hat, was man berechnet und im Prinzip auch weiß, wie man es berechnet, sind CAS ein prima Hilfsmittel.