Kompliziertere Ableitungen

Um zu sehen, ob Sie die Regeln auch anwenden können, wenn das Ergebnis nicht schon zu ahnen ist, betrachten wir – nur zum Üben – ein weiteres

Beispiel

Wir kennen die kurze Tabelle wichtiger Ableitungen und die Ableitungsregeln.
Wir suchen die Ableitung der Funktion xx und gehen ganz langsam Schritt für Schritt voran.

Frage:

Wie lässt sich die Funktion auf tabellierte Funktionen zurückführen? Die allgemeine Potenz ist über die Exponentialfunktion definiert

Antwort:

Wie ist xx überhaupt definiert? Die allgemeine Potenzfunktion ax ist über die Exponentialfunktion als

FORMEL

definiert. Also

FORMEL

Teilerfolg.
Unsere Funktion ist aus Bausteinen (erste Potenz, Exponentialfunktion, Logarithmus), zusammengesetzt, deren Ableitung wir bereits kennen.

Frage:

Wie genau sieht diese Zusammensetzung aus? Sehen Sie die Verkettung?

Antwort:

Mit

FORMEL

und

FORMEL

können wir xx als Verkettung: erst f, dann g, schreiben

FORMEL

Damit ist die Berechnung der Ableitung ein Fall für die Kettenregel.

FORMEL

Frage:

Was liefert diese Ableitungsregel? Die Ableitung der Exponentialfunktion ist wieder die Exponentialfunktion

Antwort:

Da die Ableitung der Exponentialfunktion gerade wieder die Exponentialfunktion liefert, erhalten wir im konkreten Fall

FORMEL

Fast fertig.
Im zweiten Faktor steht aber noch die Ableitung eines Produktes.

Frage:

Wie geht es weiter? Mit der Produktregel?

Antwort:

Anwenden der Produktregel und ein Blick in die Tabelle liefert

FORMEL

Wenn Sie diese schon relativ mühsame Aufgabe locker lösen konnten, sind Sie bereit für die nächste Stufe: den Einsatz von lebenserleichternden Hilfsmitteln in der Form von Computeralgebrasystemen (CAS) wie zum Beispiel Maxima.

Ableiten in Maxima

In dem Computeralgebrasystem Maxima können wir Ableitungen mit dem Befehl (der Maximafunktion) diff berechnen.

Maxima Beispiel

diff(xx, x) liefert auf “Knopfdruck” das Ergebnis xx (log x + 1).

Die kleine Tücke:
log steht nicht für den Logarithmus zur Basis 10, sondern für den natürlichen Logarithmus zur Basis e, den (nicht nur) wir mit ln bezeichnet haben.

Mit Maxima lassen sich natürlich auch höhere Ableitungen berechnen:

Maxima Beispiel

Berechnen wir die zweite Ableitung von xx direkt mit diff(xx, x, 2):

FORMEL

Merke: Wenn man nun verstanden hat, was man berechnet und im Prinzip auch weiß, wie man es berechnet, sind CAS ein prima Hilfsmittel.