Mancher, der sich die pq–Formel nicht merken kann, hat mit der quadratischen Ergänzung schneller eine quadratische Gleichung zu Fuß gelöst als die Formel nachgeschlagen.
Gesucht sind alle reellen Lösungen der Gleichung
Wir bringen den Term ohne x auf die andere Seite
und addieren dann auf beiden Seiten das Quadrat des halben Vorfaktors des linearen Terms, die sogenannte quadratische Ergänzung. Der Vorfaktor des linearen Terms ist 6, die quadratische Ergänzung, das Quadrat des halben Vorfaktors, also 32
Wegen der binomischen Formel (a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 (von rechts nach links gelesen) folgt
und daraus
Wir haben im obigen Beispiel die pq–Formel für einen konkreten Einzelfall hergeleitet.
Den allgemeinen Beweis der pq–Formel für beliebige Werte der Parameter p und q können Sie völlig analog führen. Wem es also Spass macht, der lese weiter (oder versuche es nach obigem Muster erst einmal selbst).
Ausgangspunkt ist die quadratische Gleichung
Wir bringen den Term ohne x auf die andere Seite
und addieren dann auf beiden Seiten die quadratische Ergänzung (p/2)2
Wegen der binomischen Formel (a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 steht durch diesen Kunstgriff auf der linken Seite ein reines Quadrat, nämlich das der Summe x + p/2
Das Quadrat von x + p/2 ist gleich (p/2)2 – q, also muss
sein. Beachten Sie die beiden Vorzeichen.
Jetzt müssen wir nur noch p/2 auf die andere Seite bringen und die pq–Formel steht da.
Der letzte Schritt bei dem die Wurzel mit den beiden Vorzeichen auftrat ist ziemlich hingeschlampert, also zur Sicherheit noch einmal etwas langsamer.
Ausganspunkt ist die Gleichung
wobei wir wieder die Diskriminante D = (p/2)2 – q eingeführt haben. Wir machen eine Fallunterscheidung:
In diesem Fall gibt es offensichtlich keine reelle Lösung.
Aber Achtung: Die Wurzel aus dem Quadrat einer beliebigen (also unter Umständen negativen) Zahl ist nicht die Zahl selbst, sondern deren Betrag (der ist nämlich wie die Wurzel immer positiv). Also
und damit
Womit wir uns den kritischen Schritt zumindest einmal sorgfältig überlegt haben.