Bei der Lösung größerer linearer Gleichungssysteme, und größer fängt bei 3 x 3 Systemen mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten an, empfielt es sich systematischer vorzugehen.
Der Königsweg ist das nach Gauß benannte Verfahren. Um es zu motivieren, betrachten wir zunächst ein besonders freundliches lineares Gleichungssystem.
Welche Wertepaare (x, y, z) erfüllen die drei Gleichungen
| x + y − 2z | = 1 | ||
| y + z | = 2 | ||
| z | = 4 |
Dieses Gleichungssystem ist auf Grund seiner Stufenform einfach zu lösen.
Der Knackpunkt ist offensichtlich die letzte Gleichung, in der nur die eine Variable z vorkommt, deren Wert wir unmittelbar ablesen können: z = 4.
Den so (einfach) bestimmten Wert von z setzten wir in die vorletzte Gleichung ein, womit in dieser als einzige Variable y übrigbleibt: y + 4 = 2, also y = –2.
Setzen wir schließlich die bereits bestimmten Werte z = 4 und y = –2 in die erste Gleichung ein, können wir daraus x bestimmen: x – 2 – 8 = 1, also x = 11.
Die einzige Lösung des Gleichungssystems ist das Tripel (11, –2, 4).
Wenn es doch immer so einfach wäre. Ist es – zumindest fast.
Jedes beliebige lineare Gleichungssystem können wir – ohne die Lösungsmenge zu
ändern – durch elementare Zeilenumformungen auf Stufenform bringen.
Dabei wird wiederholt eine Gleichung durch eine Folgegleichung ersetzt bis das
Gleichungssystem Stufenform annimmt.
Die drei elementaren Zeilenumformungen in der Reihenfolge aufsteigender Nützlichkeit:
Welche Wertepaare (x, y, z) erfüllen die drei Gleichungen
| x − y + 2z | = 4 | ||
| 2x − y − z | = 2 | ||
| 3x + 2y + z | = 2 |
Wir wollen das Sytem auf Stufenform bringen, vornehmlich durch elementare Zeilenumformungen vom Typ 3.
Im ersten Schritt erhalten wir eine neue zweite Gleichung, indem wir das Doppelte der ersten Gleichung von der bisherigen zweiten Gleichung abziehen
| x − y + 2z | = 4 | ||
| y − 5z | = −6 | ||
| 3x + 2y + z | = 2 |
Analog erhalten wir im zweiten Schritt eine neue dritte Gleichung, indem wir das Dreifache der ersten Gleichung von der bisherigen dritten Gleichung abziehen
| x − y + 2z | = 4 | ||
| y − 5z | = −6 | ||
| 5y − 5z | = −10 |
Im letzten Schritt müssen wir die Variable y aus der dritten Gleichung eliminieren. Wir beschaffen uns eine neue dritte Gleichung, indem wir das Fünffache der zweiten Gleichung von der bisherigen dritten Gleichung abziehen
| x − y + 2z | = 4 | ||
| y − 5z | = −6 | ||
| 20z | = 20 |
Damit haben wir das Gleichungssystem auf Stufenform gebracht und können es von der letzten Gleichung ausgehend leicht lösen.
Die einzige Lösung des Gleichungssystems ist das Tripel (1, –1, 1).
Welche Wertepaare (x, y, z) erfüllen die drei Gleichungen
| x + 2y − z | = 1 | ||
| x + y + z | = 1 | ||
| x + 3y − 3z | = 1 |
Zunächst eliminieren wir die Variable x aus der zweiten und dritten Gleichung
| x + 2y − z | = 1 | ||
| − y + 2z | = 0 | ||
| y − 2z | = 0 |
Dann eliminieren wir die Variable y aus der dritten Gleichung
| x + 2y − z | = 1 | ||
| − y + 2z | = 0 | ||
| 0 | = 0 |
und schauen verdutzt – bis wir uns an das bei den 2x2 Systemen Gelernte erinnern.
Die 3 Gleichungen sind offensichtlich nicht unabhängig voneinander. Das System hat keine eindeutige Lösung, sondern unendlich viele, parametrisiert durch einen freien Parameter s. Wir dürfen also in der letzten Gleichung z = s setzen und dann genau so fortfahren, als hätten wir für z einen festen Wert abgelesen.
Einsetzen von z = s in die vorletzte Gleichung liefert y = – 2 s, alles in die erste Gleichung eingesetzt ergibt x = 1 – 3 s.
Alle Tripel der Form (1 – 3 s, 2s, s), s beliebig, lösen das Gleichungssystem.