Lineare Gleichungssysteme: Zusammenfassung

Was haben wir über lineare Gleichungssysteme gelernt? Ein kurzer Blick zurück.

Eigenschaften der Lösungsmenge

Mögliche und typische Lösungsmengen eines lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen für n Unbekannte:

Keine Lösung

typisch für m > n

Genau eine Lösung

typisch für m = n

Unendliche viele Lösungen

typisch für m < n: eine Schar von Lösungen mit (m – n) freien Parametern

Dieses Herrschaftswissen ist auch dann nützlich, wenn Sie die Sklavenarbeit den Rechenknechten, heißen sie nun Taschenrechner oder Computeralgebrasystem, überlassen.

Lösungsverfahren nach Gauß

Ablauf des Gauß-Verfahrens:

Vorwärts eliminieren

um das Sytem auf Stufenform zu bringen

Lösbarkeit ablesen

unlösbar, eindeutig lösbar oder unendlich viele Lösungen mit freien Parametern (deren Anzahl man auch direkt ablesen kann)

Rückwärts einsetzen

um die Lösungsmenge zu bestimmen

Vorteile des Gauß-Verfahrens:

• universell einsetzbar, auch für n ungleich m
• liefert sowohl Lösbarkeit als auch Lösungen
• programmierbar. Die Chancen stehen gut, dass auch Ihr Taschenrechner oder CAS ein modifiziertes Gauß-Verfahren einsetzt.

  Modifiziert, da man sich bei der Umsetzung in ein Computerprogramm auch Gedanken über die numerische Stabilität (Keine Chance den Rundungsfehlern!) des Verfahrens machen muss. Deshalb müssen durch eine geschickte Auswahl der elementaren Zeilenumformungen (Pivotisierung) Divisionen durch kleine Zahlen vermieden werden.

Einsatz von Computeralgebrasystemen

Bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen ist der Einsatz eines Computeralgebrasystems, sei es als eigenständiges Programm oder eingebaut in einen Taschenrechner, eine willkommene Hilfe.

Eine Ausnahme bilden Systeme mit zwei Gleichungen für zwei Unbekannten, bei denen Sie bei der Reduktion auf Gleichungen in einer Unbekannten nichts falsch machen können. Viele Wege führen sicher zum Ziel, nicht nur das Gauß-Verfahren. Es lohnt sich nicht wirklich den Taschenrechner auszupacken.

Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems für drei Unbekannte mit Papier, Bleistift und Konzentrationsvermögen auszurechnen ist der Grenzfall, ab vier Unbekannten hört der Spass endgültig auf. Wo ist der Taschenrechner!?