Trigonometrie: Winkel und Winkelmaß

Winkel als Richtungsunterschied

Winkel sind uns zunächst aus der ebenen Geometrie, insbesondere der Berechnung von Dreiecken, bekannt.

Ein Winkel ist der Richtungsunterschied zwischen zwei Strahlen (den Schenkeln des Winkels), die von einem gemeinsamen Anfangspunkt (dem Scheitel des Winkels) ausgehen.

Orientierter Winkel als Drehwinkel

Will man mit Winkeln auch Drehungen beschreiben, kommt noch der Drehsinn (links herum oder rechts herum) hinzu. Die Winkel erhalten eine Orientierung, oder weniger vornehm ausgedrückt: ein Vorzeichen.

Dazu zeichnet man einen der beiden Schenkel als “ersten” aus und legt fest, dass einer Drehung dieses Schenkels gegen den Uhrzeigersinn (einer Linksdrehung) der positive Drehsinn zukommt. Entsprechend wird einer Drehung des Schenkels im Uhrzeigersinn (einer Rechtsdrehung) der negative Drehsinn zugeschrieben.
Diese Konvention stammt offensichtlich aus einer Zeit, als die Uhren noch Zifferblätter und die Telefone noch Wählscheiben hatten; sie kann als akzeptiert gelten.

Grad und Rad

In der Geometrie wird die Größe eines Winkels meist in Grad (Einheitenzeichen °) gemessen. In diesem Maß hat der rechte Winkel 90°, der volle Winkel 360°.

Außerhalb der Geometrie, zum Beispiel in der Physik bei der Beschreibung von Schwingungen, ist zur Winkelmessung die SI Einheit Radiant (Einheitenzeichen rad) gebräuchlich. In dieser auch Bogenmaß genannten Einheit hat der volle Winkel das Maß 2 Pi.

Dass es für eine Größe unterschiedliche Einheiten gibt, ist nicht weiter verwunderlich. So gibt es für Längen die SI Einheit Meter, aber auch Seemeilen, Inches usw. Wichtig ist natürlich der Umrechnungsfaktor zwischen den Einheiten:

her. (Der Umrechnungsfaktor für einen beliebigen Winkel ist gleich dem für den vollen Winkel.)

Vorsicht Falle

So einfach der Sachverhalt mit den beiden Einheiten ist, so leicht unterlaufem einem Fehler bei der Berechnung der Werte von trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus und Freunde) für einen bestimmten Winkel. Zur Berechnung verwendet man einen Taschenrechner oder benutzt ein Computeralgebrasystem (CAS) bzw. Programmiersprachen auf dem Computer.

Taschenrechner: Richtigen Modus einstellen

Beim Taschenrechner müssen Sie das zu verwendende Winkelmaß einstellen, was bei vielen Modellen über die Mode-Taste geschieht. Auf jeden Fall müssen Sie wissen, welcher Modus aktiv ist, das heißt, ob Ihr Taschenrechner eine 48 als 48° oder als 48 rad interpretiert. Das wird meist im Display angezeigt (z.B D oder DEG für Gradmaß, R oder RAD für Bogenmaß).

Computeralgebrasystem: Gegebenenfalls umrechnen

Die Funktionen zur Berechnung der Winkelfunktionen in Computeralgebrasystemen erwarten den Winkel im Bogenmaß. Gleiches gilt für die entsprechenden Funktionen in Programmiersprachen (bzw. deren mathematischen Bibliotheken).

Ein in Grad gegebener Winkel muss also in das Bogenmaß umgerechnet werden, bevor er an eine Winkelfunktion verfüttert wird.