Wir wollen die Definitionen zusammenstellen, was unter der Potenz ar einer reellen Basis a mit dem Exponenten r verstanden wird.
Dazu beginnen wir mit dem einfachsten Fall das der Exponent eine natürliche Zahl ist und arbeiten uns dann bis zu beliebigen reellen Exponenten vor.
Dabei werden wir uns auf positive reelle Basen beschränken. Diese Beschränkung ist wesentlich, ihre Mißachtung kann zu Fehlern führen!
Für eine reelle Zahl a , die Basis, und eine natürliche Zahl n , den Exponenten definieren wir die Potenz „a hoch n“ als
Für natürliche Exponenten 1,2,3,…sind Potenzen also einfach eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt gleicher Faktoren.
Ergänzend definieren wir für von Null verschiedene Basen
Für eine von Null verschiedene reelle Basis und einen negativen ganzzahligen Exponenten definieren wir die Potenz als Kehrwert
Anders ausgedrückt: a-n ist der Kehrwert von an, das heißt diejenige Zahl die mit an multipliziert gerade 1 ergibt.
Rationale Zahlen sind Brüche ganzer Zahlen, genauer formuliert: sie lassen sich als solche darstellen. Eine andere Darstellung sind abbrechende oder periodische Dezimalbrüche.
Für eine positive reelle Basis und einen rationalen Exponenten p/q mit ganzen Zahlen p und q (q ungleich 0) definieren wir die Potenz als q–te Wurzel aus a hoch p
Beispiel: Für jede positve Zahl a.
Wir greifen also auf die Wurzeln zurück, um Potenzen mit rationalen Exponenten zu definieren.
Das bedeutet umgekehrt: Wurzeln sind einfach Potenzen mit speziellen Exponenten.
Will man den Wert einer Wurzel berechnen, oder Wurzelausdrücke umformen, ist oft der Übergang von der Wurzel- zur Potenzschreibweise ein hilfreicher erster Schritt.
Zu berechnen ist mit Hilfe eines Taschenrechners 
.
Da es keine eigene Taste für die dritte Wurzel gibt gehen wir als ersten Schritt zur Potenzschreibweise über
und berechnen dann mit Hilfe der „x hoch y“-Taste den Wert zu ungefähr 2,22.
Das Ergebnis ist glaubwürdig, da wegen 23 = 8 und 33 = 27 ein Wert etwas größer als 2 herauskommen muß.
Auch für beliebige reelle Exponenten ist für eine von Null verschiedene Basis die Potenz definiert und kann mit dem Taschenrechner berechnet werden.
Mit der „x hoch y“-Taste des Taschenrechners berechnen wir:
Das war (für den Fall beliebiger reeller Exponenten) ein eher pragmatischer, handlungsorientierter Zugang: Die Potenz ist das, was die entsprechende Taste auf dem Taschenrechner berechnet.
Für die Neugierigen, die sich damit nicht abspeisen lassen wollen, sei noch etwas nachgelegt. Die Potenz für den Fall beliebiger reeller Exponenten wird durch stetige Fortsetzung des Falles rationaler Exponenten definiert. Diese Defintion nützt aus, dass sich jede reelle Zahl durch rationale Zahlen beliebig genau annähern lässt und definiert die Potenz einer reellen Zahl als Grenzwert der Potenzen der rationalen Näherungen.
Das bedeutet: Um den Wert einer Potenz mit reellem Exponenten (in gewünschter Genauigkeit) zu erhalten muss man den Exponenten nur genau genug durch rationale Zahlen approximieren, das heißt genügend viele Nachkommastellen berücksichtigen.
Wie das läuft, sieht man konkret für das obige Beispiel:
