Alles was wir über das Lösen von Gleichungen gelernt haben, können wir für Ungleichungen nutzen, also für Aufgaben der Art:
Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Ungleichung
oder der Ungleichung
Man beachte das kleiner gleich bzw. größer Zeichen anstelle des gewohnten Gleichheitszeichens.
Wir können im Prinzip beim Lösen von Ungleichungen genauso vorgehen wie bei Gleichungen. Bei aller Ähnlichkeit gibt es aber zwei merkenswerte Unterschiede:
Der erste Unterschied betrifft die Lösungsmengen selbst. Während sie bei Gleichungen typischerweise aus einzelnen Punkten bestanden, sind es bei Ungleichungen ganze Bereiche.
In obigen Beispielen alle reellen Zahlen größer oder gleich 7 / 5
beziehungsweise alle reellen Zahlen außer denen zwischen 1 und 7
Der unangenehme Unterschied betrifft den Lösungsweg. Wie man sich an einem Zahlenbeispiel leicht klar macht gilt folgende Regel:
Werden beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multipiziert, dann dreht sich der Richtungssinn der Ungleichung um: Aus einem kleiner wird ein größer, aus einem größer ein kleiner.
Das hört sich harmloser an, als es in der Praxis ist. Wenn nämlich der Faktor die Variable x selbst enthält, hängt unter Umständen auch das Vorzeichen des Faktors von x ab. Es droht eine nicht ganz zu unrecht unbeliebte, weil fehleranfällige, Fallunterscheidung.