Verschaffen wir uns anhand von zwei Beispielen ein Gefühl für den Umgang mit Ungleichungen. So häufig kommen sie ja auch nicht vor. Zum Warmlaufen ein ganz einfaches Beispiel.
Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Ungleichung
Vorgehen wie bei der Lösung linearer Gleichungen.
Vorsicht bei der Multiplikation mit negativen Faktoren.
Ansonsten stellen wir erfreut fest, dass die Variable nur in der ersten Potenz vorkommt, es handelt sich also um eine lineare Ungleichung. Zur Lösung gehen wir wie bei einer linearen Gleichung vor: alle Terme mit x auf eine Seite, alle Terme ohne x auf die andere:
Zusammenfassen
Wie bei linearen Gleichungen: Division beider Seiten durch den Vorfaktor von x und Umdrehen des Richtungssinns, da der Vorfaktor negativ ist
Alle reellen Zahlen größer oder gleich 7 / 5 erfüllen die Ungleichung:
Das nächste Beispiel zeigt die Notwendigkeit einer Fallunterscheidung.
Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Ungleichung
Vorgehen wie bei der Lösung von Bruchgleichungen.
Multiplikation mit dem von x abhängigen Nenner erfordert eine Fallunterscheidung.
Für die gesuchte Größe x müssen wir also von Anfang an den Wert 3 ausschließen. Die Grundmenge D der Gleichung ist
Im weiteren ist x immer aus dieser Grundmenge.
und addieren die Brüche
Beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner (x – 3) multiplizieren liefert …
die Notwendigkeit einer Fallunterscheidung (auf der Grundmenge):
oder nach Isolieren von x
Das ist nicht zu erfüllen für x > 3. Die Lösungsmenge für diesen Fall ist leer.
oder nach Isolieren von x
Also ist die Lösungsmenge in diesem Fall
Zusammengefasst
